Question

12．已知椭圆$\frac{y^2}{a^2}$+$\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），过点A（b，0），B（0，-a）的直线倾斜角为$\frac{π}{3}$，原点到该直线的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率大于零的直线过D（0，1）与椭圆交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）两点，且x₁=-2x₂，求直线EF的方程．

Answer 1

分析 （1）运用两点的斜率公式，可得$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$，求得直线AB的方程，运用点到直线的距离公式，可得a，进而得到b，可得椭圆方程；
（2）设直线EF的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，消去y，可得x的二次方程，运用韦达定理，结合条件，解方程可得k=1，进而得到所求直线的方程．

解答 解：（1）过点A（b，0），B（0，-a）的直线倾斜角为$\frac{π}{3}$，
可得k_AB=$\frac{a}{b}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
即有直线AB的方程为y=$\sqrt{3}$x-a，
原点到该直线的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，可得$\frac{a}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得a=$\sqrt{3}$，b=1，
则椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{3}$+x²=1；
（2）设直线EF的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，可得
（k²+3）x²+2kx-2=0，△=4k²+8（k²+3）＞0恒成立，
由E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{2k}{3+{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{2}{3+{k}^{2}}$，又x₁=-2x₂，
即有x₂=$\frac{2k}{3+{k}^{2}}$，x₁=-$\frac{4k}{3+{k}^{2}}$，
可得-$\frac{8{k}^{2}}{（3+{k}^{2}）^{2}}$=-$\frac{2}{3+{k}^{2}}$，
解得k=1（-1舍去）．
则直线EF的方程为y=x+1．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用直线的斜率公式和点到直线的距离公式，考查直线方程的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．