Question

10．已知函数f（x）=tan（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$）
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）求f（x）的定义域和单调区间．
（3）求方程f（x）=$\sqrt{3}$的解集．

Answer 1

分析 由条件利用正切函数的周期性、定义域、单调性，求得函数的周期、定义域和单调区间，解三角方程，求得方程f（x）=$\sqrt{3}$的解集．

解答 解：（1）对于函数f（x）=tan（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$），它的周期等于 T=$\frac{π}{\frac{π}{2}}$=2．
（2）令$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$≠kπ+$\frac{π}{2}$，求得x≠2k+$\frac{1}{3}$，k∈Z，故函数的定义域为：
{x|x≠2k+$\frac{1}{3}$，k∈Z}；
令kπ-$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，求得2k-5＜x＜2k+$\frac{1}{3}$，
可得函数的单调增区间为（2k-$\frac{5}{3}$，2k+$\frac{1}{3}$ ），k∈Z．
（3）由方程f（x）=tan（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，可得$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{3}$，
求得x=2k，故方程的解集为{x|x=2k，k∈Z}．

点评 本题主要考查正切函数的周期性、定义域、单调性，解三角方程，属于基础题．