Question

14．已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x）=f（y）+f（x-y），当x＞0时，f（x）＜0，且f（2）=-3．
（Ⅰ）求f（0），并判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）证明：函数f（x）在R上的单调递减；
（Ⅲ）若不等式f（2^x-3）-f（-2^2x）＜f（k•2^x）+6在区间（-2，2）内恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别取x=y=0，和x=0可得f（0）=0，进而可得f（-y）=-f（y），可判f（x）为奇函数；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），结合已知可判f（x₂）-f（x₁）＜0，可得单调性；
（Ⅲ）由已知式子可得f（4）=-6，不等式f（2^x-3）-f（-2^2x）＜f（k•2^x）+6在区间（-2，2）内恒成立转化为k＜2^x+2^-x+1在区间（-2，2）内恒成立，即可求实数k的取值范围．．

解答 （Ⅰ）解：令x=y=0，可得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0----------（2分）
令x=0，可得f（0）=f（y）+f（-y），即f（-y）=-f（y）
故f（x）为奇函数----------（4分）
（Ⅱ）证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，f（x₂）＜f（x₁），
故函数f（x）在R上为减函数----------（8分）
（Ⅲ）解：∵f（2）=-3，
∴f（4）=f（2）+f（2）=-6，-------（9分）
∵不等式f（2^x-3）-f（-2^2x）＜f（k•2^x）+6在区间（-2，2）内恒成立----------（11分）
∴f（2^x-3+2^2x）＜f（k•2^x-4）在区间（-2，2）内恒成立．
∵函数f（x）在R上为减函数，
∴2^x-3+2^2x＞k•2^x-4在区间（-2，2）内恒成立
∴k＜2^x+2^-x+1在区间（-2，2）内恒成立，
∵x∈（-2，2），∴2^x+2^-x∈[2，$\frac{17}{4}$），
∴k＜2----------（12分）

点评 本题考查抽象函数的单调性和奇偶性的判断，赋值是解决问题的关键，属中档题．