Question

6．已知△ABC中，AB=3，AC=2，点D在边BC上，满足$\frac{{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}$=$\frac{{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}$，若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow b$，则$\overrightarrow{AD}$=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$$\overrightarrow a$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow b$
• B． $\frac{2}{3}$$\overrightarrow a$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow b$
• C． $\frac{3}{5}$$\overrightarrow a$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow b$
• D． $\frac{2}{5}$$\overrightarrow a$+$\frac{3}{5}$$\overrightarrow b$

Answer 1

分析 根据向量数量积的计算公式，由$\frac{{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}$=$\frac{{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}$便可得出AD为∠BAC的平分线，从而得出$\frac{BD}{DC}=\frac{3}{2}$，进一步得出$BD=\frac{3}{5}BC$，从而$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，这样进行向量的数乘运算便可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{AD}$．

解答 解：如图，
$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{AB}|cos∠BAD}{|\overrightarrow{AB}|}=|\overrightarrow{AD}|cos∠BAD$，$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=|\overrightarrow{AD}|cos∠CAD$；
∴$|\overrightarrow{AD}|cos∠BAD=|\overrightarrow{AD}|cos∠CAD$；
∴cos∠BAD=cos∠CAD；
∴∠BAD=∠CAD；
即AD为∠BAC的平分线；
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$；
∴$BD=\frac{3}{5}BC$；
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$
=$\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$
=$\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$
=$\frac{2}{5}\overrightarrow{a}+\frac{3}{5}\overrightarrow{b}$．
故选：D．

点评 考查向量数量积的计算公式，以及三角形角平分线的性质，向量加法、减法及数乘的几何意义，向量的数乘运算，向量数量积的计算公式．