Question

18．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{n}$=$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$，x∈R，函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）求f（x）的最大值；
（2）解关于x的不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积和两角和的正弦公式和正弦函数的性质即可求出，
（2）解有关三角函数的不等式即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{n}$=$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$，x∈R，
∴函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx=sin（x+$\frac{π}{6}$），
当x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z时，有最大值，f（x）_max=1，
（2）由（1）f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$），
∵f（x）≥$\frac{1}{2}$，
∴sin（x+$\frac{π}{6}$）≥$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$+2kπ≤x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z，
∴2kπ≤x≤$\frac{2}{3}π$+2kπ，k∈Z，
∴不等式的解集为{x|2kπ≤x≤$\frac{2}{3}π$+2kπ，k∈Z}

点评 本题考查了向量的数量积和三角函数的化简和性质以及不等式的解法，属于基础题．