Question

15．若$\overrightarrow{a}$=（cosθ-2sinθ，2），$\overrightarrow{b}$=（sinθ，1）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求sin2θ-sinθcosθ的值；
（2）若f（θ）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{b}$，当θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（θ）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据向量平行列方程解出sinθ，cosθ，代入公式计算；
（2）根据向量的数量积公式得出f（θ）的解析式，化简，根据x的范围和正弦函数的单调性得出最值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，∴cosθ-2sinθ-2sinθ=0，即cosθ=4sinθ．
∴sin2θ-sinθcosθ=$\frac{2sinθcosθ-sinθcosθ}{sin^2θ+cos^2θ}$=$\frac{sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{4si{n}^{2}θ}{16si{n}^{2}θ+si{n}^{2}θ}$=$\frac{4}{17}$．
（2）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（cosθ-sinθ，3），
∴f（θ）=cosθsinθ-sin²θ+3=$\frac{1}{2}$sin2θ+$\frac{1}{2}cos2θ$+$\frac{5}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2θ+$\frac{π}{4}$）+$\frac{5}{2}$．
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2θ$+\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]．
∴当2θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$时，f（θ）取得最小值2，当2θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，f（θ）取得最大值$\frac{\sqrt{2}+5}{2}$．
∴f（θ）的值域为[2，$\frac{\sqrt{2}+5}{2}$]．

点评 本题考查了向量平行与坐标的关系，三角函数的恒等变换正弦函数的性质，属于中档题．