Question

1．已知$\frac{cosA+2cosC}{cosA+2cosB}$=$\frac{b}{c}$，则△ABC是直角三角形或等腰三角形．

Answer 1

分析 根据条件和等比性质对cosA进行分类讨论，分别代入式子由正弦定理、余弦函数的性质进行化简，再判断出三角形的形状．

解答 解：（1）当cosA=0时，即A=$\frac{π}{2}$，
在△ABC中，根据等比性质，$\frac{cosA+2cosC}{cosA+2cosB}=\frac{cosC}{cosB}$=$\frac{b}{c}$，
由正弦定理得$\frac{sinB}{sinC}=\frac{cosC}{cosB}$，则sin2B=sin2C，
所以2B=2C或2B+2C=π，则B=C或B+C=$\frac{π}{2}$，
则△ABC是直角三角形或等腰直角三角形；
（2）当cosA≠0时，即A≠$\frac{π}{2}$，
在△ABC中，根据等比性质，$\frac{cosA+2cosC}{cosA+2cosB}=\frac{cosA}{cosA}=\frac{2cosC}{2cosB}$=$\frac{b}{c}$，
则$\frac{b}{c}$=1，即b=c，所以△ABC是等腰三角形；
综上可知，△ABC是直角三角形或等腰三角形，
故答案为：直角三角形或等腰．

点评 本题考查正弦定理，余弦函数的性质，以及等比性质的灵活应用，考查化简、变形能力，属于中档题．