Question

6．已知（x+$\frac{{\root{3}{a}}}{x}$）⁶的展开式中，常数项为40，则$\int_0^1{x^a}$dx=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 运用二项式展开式的通项公式，化简整理，再令x的次数为0，求出a，再由定积分的运算法则，即可求得．

解答 解：（x+$\frac{{\root{3}{a}}}{x}$）⁶的展开式中的通项公式为：${C}_{6}^{r}（x）^{6-r}（\frac{\root{3}{a}}{x}）^{r}$=${C}_{6}^{r}$x^6-2r$a\frac{r}{3}$，
令6-2r=0，r=3，
∴${C}_{6}^{3}$a=40，a=2，
则$\int_0^1{x^a}$dx=${∫}_{0}^{1}{x}^{2}dx$=$\frac{1}{3}$x³${丨}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查二项式定理的运用：求特定项，同时考查定积分的运算，属于基础题．