Question

14．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$）sin2x-$\frac{1}{4}$（x∈R）
（1）求函数f（x）的最小正周期及其单调减区间；
（2）求函数f（x）在[-$\frac{π}{4}$，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式降幂，再由两角和与差的正弦化积，由周期公式求得周期，再由复合函数的单调性求得函数f（x）的单调减区间；
（2）由x得范围求出相位的范围，则函数f（x）在[-$\frac{π}{4}$，0]上的最大值和最小值可求．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2xcos2x+\frac{1}{2}{sin^2}2x-\frac{1}{4}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin4x+\frac{1}{4}（1-cos4x）-\frac{1}{4}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin4x-\frac{1}{4}cos4x=\frac{1}{2}sin（4x-\frac{π}{6}）$，
最小正周期T=$\frac{2π}{4}=\frac{π}{2}$．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤4x-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得$\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}≤x≤\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
∴函数f（x）的单调减区间为[$\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}$]，k∈Z；
（2）由x∈[-$\frac{π}{4}$，0]，得4x$-\frac{π}{6}$∈[$-\frac{7π}{6}，-\frac{π}{6}$]，
∴$sin（4x-\frac{π}{6}）∈[{-1，\frac{1}{2}}]$，
则f（x）在[-$\frac{π}{4}$，0]上的最大值为$\frac{1}{4}$，最小值为$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查三角函数最值的求法，是中档题．