Question

6．已知x＞0，y＞0，且4x+$\frac{1}{x}$+y+$\frac{4}{y}$=17，则函数F（x，y）=4x+y的最大值与最小值的差为（　　）

• A． 14
• B． 15
• C． 16
• D． 17

Answer 1

分析 设4x+y=t，代入条件可得4xy=$\frac{4t}{17-t}$，（0＜t＜17），将4x，y可看作二次方程m²-tm+$\frac{4t}{17-t}$=0的两根，由△≥0，
运用二次不等式的解法即可得到所求最值，进而得到它们的差．

解答 解：设4x+y=t，
4x+$\frac{1}{x}$+y+$\frac{4}{y}$=17，即为（4x+y）+$\frac{4x+y}{xy}$=17，
即有t+$\frac{t}{xy}$=17，
可得xy=$\frac{t}{17-t}$，即4xy=$\frac{4t}{17-t}$，（0＜t＜17），
即有4x，y可看作二次方程m²-tm+$\frac{4t}{17-t}$=0的两根，
由△≥0，可得t²-$\frac{16t}{17-t}$≥0，
化为t²-17t+16≤0，
解得1≤t≤16，
当x=$\frac{1}{8}$，y=$\frac{1}{2}$时，函数F（x，y）取得最小值1；
当x=2，y=8时，函数F（x，y）取得最大值16．
可得函数F（x，y）=4x+y的最大值与最小值的差为15．
故选：B．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和二次方程的实根的分布，考查判别式法和二次不等式的解法，属于中档题．