Question

1．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{e}^{x-1}，x＜2}\\{lo{g}_{3}（x^2-1），x≥2}\end{array}\right.$则f（f（2））的值为2；若f（x）=a有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为[1，2e）．

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可得到结论．

解答 解：由分段函数得f（2）=log₃3=1，f（1）=2e^1-1=2e⁰=2，
作出函数f（x）的图象如图：
当x≥2时，函数f（x）=log₃（x²-1）为增函数，
则f（x）≥f（2）=1，
当x＜2时，f（x）=2e^x-1，为增函数，
则0＜f（x）＜2e，
∴要使f（x）=a有两个不等的实数根，
则1≤a＜2e，
故答案为：2，[1，2e）

点评 本题主要考查分段函数的应用以及函数与方程的关系，利用数形结合转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键．