Question

10．数式1+$\frac{1}{{1+\frac{1}{1+…}}}$中省略号“…”代表无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+$\frac{1}{t}$=t，则t²-t-1=0，取正值得t=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，用类似方法可得$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}$=2．

Answer 1

分析 通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．

解答 解：由已知代数式的求值方法：
先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），
可得要求的式子．
令$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}$=m（m＞0），
则两边平方得，2$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}$=m²，
即2+m=m²，解得，m=2（-1舍去）．
故答案为：2．

点评 本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题．