Question

20．已知函数f（x）=log₂（x+m），且2f（2）=f（0）+f（6）．
（1）求f（30）的值；
（2）若a，b，c是两两不相等的正数，且b²=ac，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据题意，列出方程求出m的值，写出函数f（x）的解析式，再求f（30）的值；
（2）f（a）+f（c）≥f（b），利用对数的运算性质，结合基本不等式可证明结论成立．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log₂（x+m），且2f（2）=f（0）+f（6），
∴2log₂（2+m）=log₂m+log₂（6+m），
$\left\{\begin{array}{l}{{（2+m）}^{2}=m（6+m）}\\{m＞0}\end{array}\right.$
解得m=2，
∴f（x）=log₂（x+2），
∴f（30）=log₂（30+2）=5；
（2）f（a）+f（c）≥f（b），证明如下；
∵f（a）+f（c）=log₂（a+2）+log₂（c+2）=log₂（a+2）（c+2），
2f（b）=2log₂（b+2）=log₂（b+2）²，
且a，b，c是两两不相等的正数，b²=ac，
∴b=$\sqrt{ac}$，且a+c≥2$\sqrt{ac}$，当且仅当“a=c”时取“=”，
∴（b+2）²-（a+2）（c+2）=（b²+4b+4）-（ac+2a+2c+4）=2[2b-（a+c）]≤2（2b-2$\sqrt{ac}$）=0，
∴（b+2）²≤（a+2）（c+2），
即f（a）+f（c）≥2f（b）．

点评 本题考查了求函数的解析式与求函数值的应用问题，也考查了对数函数的性质与应用问题，是中档题目．