Question

11．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，在第一象限椭圆上的一点M满足MF₂⊥F₁F₂，且|MF₁|=3|MF₂|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设MF₁与y轴的交点为N，过点N与直线MF₁垂直的直线交椭圆于A，B两点，若$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{{F_1}A}$•$\overrightarrow{{F_1}B}$=$\frac{54}{17}$，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的定义和直角三角形的勾股定理，结合椭圆的离心率计算即可得到所求值；
（2）由椭圆的离心率和a，b，c的关系，可得椭圆的方程x²+2y²-2c²=0，求得直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量的数量积的坐标表示，解方程可得c，进而得到a，b的值，即可得到所求椭圆方程．

解答 解：（1）由椭圆定义可得|MF₁|+|MF₂|=2a，
∵|MF₁|=3|MF₂|，∴4|MF₂|=2a，
∴$16|M{F_2}{|^2}=4{a^2}$，
在直角△MF₂F₁中，$|M{F_1}{|^2}-|M{F_2}{|^2}=4{c^2}$，即$8|M{F_2}{|^2}=4{c^2}$，
∴$\frac{{4{c^2}}}{{4{a^2}}}=\frac{1}{2}$，即$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
（2）∵$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$a=\sqrt{2}c，\;b=c$，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{{2{c^2}}}+\frac{y^2}{c^2}=1$，
即x²+2y²-2c²=0，
易知点M的坐标为$（{c，\;\frac{{\sqrt{2}}}{2}c}）$，
∵点N是线段MF₂的中点，∴点N的坐标为$（{0，\;\frac{{\sqrt{2}}}{4}c}）$，
∵直线MF₁的斜率为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，∴直线AB的斜率为$-2\sqrt{2}$，
∴直线AB的方程为$y=-2\sqrt{2}x+\frac{{\sqrt{2}}}{4}c$，
与椭圆方程联立消去y得$17{x^2}-4cx-\frac{7}{4}{c^2}=0$，
设点A的坐标为（x₁，y₁），点B的坐标为（x₂，y₂），∴${x_1}{x_2}=-\frac{{7{c^2}}}{4×17}$，
∵AB垂直平分线段MF₁，∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{{F_1}A}•\overrightarrow{{F_1}B}=\frac{27}{17}$，
∴$（{{x_1}-c，\;{y_1}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}c}）•（{{x_2}-c，\;{y_2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}c}）=\frac{27}{17}$，
∴$（{{x_1}-c，\;-2\sqrt{2}{x_1}-\frac{{\sqrt{2}}}{4}c}）•（{{x_2}-c，\;-2\sqrt{2}{x_2}-\frac{{\sqrt{2}}}{4}c}）=\frac{27}{17}$，
∴$（{{x_1}-c}）（{{x_2}-c}）+（{-2\sqrt{2}{x_1}-\frac{{\sqrt{2}}}{4}c}）（{-2\sqrt{2}{x_2}-\frac{{\sqrt{2}}}{4}c}）=\frac{27}{17}$，
化简得${x_1}{x_2}+\frac{1}{8}{c^2}=\frac{3}{17}$，即$-\frac{{7{c^2}}}{4×17}+\frac{1}{8}{c^2}=\frac{3}{17}$，即为c²=8，
可得a²=2c²=16，b²=c²=8，
则椭圆的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义和勾股定理，考查椭圆方程的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量数量积的坐标表示，化简整理的运算能力，属于中档题．