Question

11．设f（x）是定义域为R的具有周期2π的奇函数，且f（3）=f（4）=0，则f（x）在区间[0，8]中至少有7个零点．

Answer 1

分析 由函数为定义域为R上的奇函数可得f（0）=0，结合已知得到f（-3）=0，f（-4）=0，再由周期得到f（2π）=0，f（-3+2π）=0，f（-4+2π）=0，由周期性与奇偶性结合得到f（π）=0．

解答 解：∵f（x）是定义域为R的具有周期2π的奇函数，
∴f（0）=0，则f（2π）=f（0）=0，
又f（3）=f（4）=0，则f（-3）=0，f（-4）=0，
∴f（-3+2π）=0，f（-4+2π）=0，
又f（-π）=f（-π+2π）=f（π）=-f（π），
∴f（π）=0．
∴f（x）在区间[0，8]中至少有零点：0，2π-4，3，π，2π-3，4，2π，共7个．
故答案为：7．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性及函数周期的综合运用，解决本题的关键是熟练掌握函数的各个性质并能灵活运用性质，还要具备一定的综合论证的解题能力，是中档题．