Question

【题目】函数角度看，可以看成是以为自变量的函数，其定义域是.

（1）证明：

（2）试利用1的结论来证明：当为偶数时，的展开式最中间一项的二项式系数最大；当为奇数时的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先根据组合数公式求出、，计算的值，从而证得结论；

（2）设，由（1）可得，令，可得

（等号不成立），故有当时，成立；

当时，成立.故最大，

当为奇数时，同理可证，从而证得结论.

（1）因为，又因为，

所以.

则成立.

（2）设，因为，，

所以.令，所以，

则（等号不成立），所以时，成立，

反之，当时，成立.

所以最大，即展开式最中间一项的二项式系数最大；

当为奇数时，设，其最中间有两项且，

由（1）知，显然，

，令，可得，

，当时，，且这两项为二项展开式最中间两项的系数，

所以时，成立；

由对称性可知：当时，成立，

又，故当为奇数时，的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大.