Question

17．在极坐标系中，点P的坐标是（1，0），曲线C的方程为ρ=2$\sqrt{2}cos（θ-\frac{π}{4}）$．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为-1的直线l经过点P．
（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l和曲线C相交于两点A，B，求|PA|²+|PB|²的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的三角函数化简极坐标方程，两边同乘ρ，然后求解直角坐标方程．
（2）求出直线参数方程，代入圆的方程，根据直线参数方程t的几何意义，求解|PA|²+|PB|²即可．

解答 （本小题满分10分）
解（1）由曲线C的极坐标方程$ρ=2\sqrt{2}cos（θ-\frac{π}{4}）$可得，ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，因此曲线C的直角坐标方程为x²+y²=2x+2y
点P的直角坐标为（1，0），直线l的倾斜角为135°，所以直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.（t$为参数）．（5分）
（2）将$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.（t$为参数）代入x²+y²=2x+2y，有${t^2}-\sqrt{2}t-1=0$，
设A，B对应参数分别为t₁，t₂，有${t_1}+{t_2}=\sqrt{2}，{t_1}{t_2}=-1$，根据直线参数方程t的几何意义有，|PA|²+|PB|²=$t_1^2+t_2^2={（{t_1}+{t_2}）^2}-2{t_1}{t_2}=4$．（10分）

点评 本题考查圆的极坐标方程以及直线的参数方程的应用，考查计算能力．