Question

5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x+1），x∈[0，1）}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}-3x+\frac{7}{2}，x∈[1，+∞）}\end{array}\right.$，则关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为（　　）

• A． 1-（$\frac{1}{2}$）^a
• B． （$\frac{1}{2}$）^a-1
• C． 1-2^a
• D． 2^a-1

Answer 1

分析 由题意，关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5个根，从左向右分别为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则x₁+x₂=-6，-log₂（1-x₃）=-a，x₄+x₅=6，即可得出关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和．

解答 解：由题意，关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5个根，从左向右分别为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则
x≥1，f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}-3x+\frac{7}{2}$，对称轴为x=3，根据对称性，x≤-1时，函数的对称轴为x=-3
∴x₁+x₂=-6，x₄+x₅=6，
∵0＜x＜1，f（x）=log₂（x+1），
∴-1＜x＜0时，0＜-x＜1，f（x）=-f（-x）=-log₂（-x+1），
∴-log₂（1-x₃）=-a，
∴x₃=1-2^a，
∴x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=-6+1-2^a+6=1-2^a，
故选：C．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查方程根之和问题，考查学生的计算能力，属于中档题．