Question

6．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过圆x²+y²-4x+2y=0的圆心，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C的标准方程是（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• D． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 根据条件建立方程关系求出a，b的值即可得到结论．

解答 解：设双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为y=$±\frac{b}{a}x$，即bx-ay=0，
所以焦点到渐近线的距离d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{bc}{c}=b$，即b=2，
圆的标准方程为（x-2）²+（y+1）²=5，则圆心坐标为（2，-1），
则y=-$\frac{b}{a}x$=-$\frac{2}{a}$x经过点（2，-1），即-$\frac{4}{a}$=-1，则a=4，
则双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线标准方程的求解，根据条件分别求出a，b的值是解决本题的关键．