Question

17．如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，AB⊥BC，PA=6，AB=BC=8，DF=5．
（1）求证：直线PA∥平面DEF；
（2）求证：平面BDE⊥平面ABC；
（3）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；
（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可；
（3）证明BE⊥平面PAC．连接PE，则∠BPE即为所求．

解答 （1）证明：由于D，E分别是PC，AC的中点，则有PA∥DE，
又PA?平面DEF，DE?平面DEF，所以PA∥平面DEF …（4分）
（2）证明：由（1）知PA∥DE，又PA⊥AC，所以DE⊥AC，
又F是AB的中点，$所以DE=\frac{1}{2}PA=3，EF=\frac{1}{2}BC=4，又DF=5，所以D{E^2}+E{F^2}=D{F^2}$，
所以DE⊥EF，
又EF∩AC=E，所以DE⊥平面ABC，
又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC．（8分）
（3）解：由（2）知DE⊥平面ABC，又DE?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC，
又平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC，BE?平面ABC，所以BE⊥平面PAC．
连接PE，则∠BPE即为所求．
$BE=4\sqrt{2}，PB=10$，故$sin∠BPE=\frac{{2\sqrt{2}}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查了空间中的平行与垂直问题，考查线面角，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是中档题．