Question

13．已知cos2α=-$\frac{9}{41}$，cos2β=-$\frac{12}{13}$，$\frac{π}{2}$＜α＜π，$\frac{π}{2}$＜β＜π，求：sin²（α+β）-sin²（α-β）的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin2α、cos2β的值，再利用两角和差的正弦公式、平方差公式以及二倍角公式，求得要求式子的值．

解答 解：∵cos2α=-$\frac{9}{41}$，cos2β=-$\frac{12}{13}$，$\frac{π}{2}$＜α＜π，$\frac{π}{2}$＜β＜π，
∴π＜2α＜2π，π＜2β＜2π，∴sin2α=-$\sqrt{{1-cos}^{2}2α}$=-$\frac{40}{41}$，sin2β=-$\sqrt{{1-cos}^{2}2β}$=-$\frac{5}{13}$，
∴sin²（α+β）-sin²（α-β）=[sin（α+β）+sin（α-β）]•[sin（α+β）-sin（α-β）]
[（sinαcosβ+cosαsinβ）+（sinαcosβ-cosαsinβ）]
•[（sinαcosβ+cosαsinβ）-（sinαcosβ-cosαsinβ]
=2sinαcosβ•2cosαsinβ=sin2α•sin2β=-$\frac{40}{41}$•（-$\frac{5}{13}$）=$\frac{200}{533}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式、平方差公式以及二倍角公式的应用，属于基础题．