Question

3．如图，对称轴为直线x=1的抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C（0，3），且S_△ABC=6．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直线y=kx+1交x轴于点D，交y轴于点E，交抛物线于点F、G，在y轴上是否存在点P，使得以P、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出k的值及点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点Q，使得OQ、AC、BC三条直线所围成的三角形与△DOE相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设A，B点坐标，设f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），列出方程组解出x₁，x₂，a；
（2）将y=kx+1与二次函数解析式联立，求出F，G连点坐标的关系，假设存在点P，则E为FG和PC的中点，根据中点坐标公式列方程解出k和P点坐标；
（3）求出∠ACB，判断是否与Rt△ODE中的某个角相等，根据相似关系得出OQ与AC或BC的关系，列方程组求出Q坐标．

解答 解：（1）设A（x₁，0），B（x₂，0），抛物线解析式为f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2}\\{a{x}_{1}{x}_{2}=3}\\{{x}_{2}-{x}_{1}=4}\end{array}\right.$，
解得a=-1，x₁=-1，x₂=3．
∴抛物线的解析式为f（x）=-（x+1）（x-3）．
（2）假设在y轴上存在点P使得以P、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形，
则E为平行四边形PFCG的对角线交点．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{y=-（x+1）（x-3）}\end{array}\right.$得：x²+（k-2）x-2=0．
设F（x₁，y₁），G（x₂，y₂），则x₁+x₂=2-k，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=-k²+2k+2，
∵E（0，1）是FG中点，∴$\left\{\begin{array}{l}{2-k=0}\\{-{k}^{2}+2k+2=2}\end{array}\right.$，解得k=2．
．∵E（0，1），C（0，3），∴P（0，-1）．
（3）k=2时，D（-$\frac{1}{2}$，0），OD=$\frac{1}{2}$，OE=1，∴DE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，∴cos∠ODE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠OED=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∵AC=$\sqrt{10}$，BC=3$\sqrt{2}$，AB=4，∴cos∠ACB=$\frac{10+18-16}{2×\sqrt{10}×3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴∠ACB=∠ODE，
∴抛物线上存在点Q，使得OQ、AC、BC三条直线所围成的三角形与△DOE相似．
∵OD⊥OE，∴OQ⊥AC或OQ⊥BC．
直线AC方程为y=3x+3，直线BC方程为y=-x+3．
①若OQ⊥AC，则直线OQ方程为y=-$\frac{1}{3}x$，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x}\\{y=-（x+1）（x-3）}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7+\sqrt{157}}{6}}\\{y=-\frac{7+\sqrt{157}}{18}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7-\sqrt{157}}{6}}\\{y=-\frac{7-\sqrt{157}}{18}}\end{array}\right.$．
②若OQ⊥BC，则OQ方程为y=x．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-（x+1）（x-3）}\end{array}\right.$，解得x=y=$\frac{1±\sqrt{13}}{2}$．
∴Q（$\frac{7+\sqrt{157}}{6}$，-$\frac{7+\sqrt{157}}{18}$）或Q（$\frac{7-\sqrt{157}}{6}$，-$\frac{7-\sqrt{157}}{18}$）或Q（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$）或Q（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$）．

点评 本题考查了待定系数法求解析式，直线与抛物线的位置关系与综合计算，属于中档题．