Question

12．求证：函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）在（$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 根据函数单调性的定义利用定义法进行证明即可．

解答 解：任取x₁，x₂∈（$\sqrt{a}$，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{a}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{a}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）+$\frac{a}{{x}_{1}}$-$\frac{a}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）+$\frac{a（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-a}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
因为$\sqrt{a}$＜x₁＜x₂，
所以x₁-x₂＜0，x₂x₁＞$\sqrt{a}•\sqrt{a}$=a，
则x₁x₂-a＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）在（$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数．

点评 本题主要考查函数单调性的判断，利用函数单调性的定义是解决本题的关键．