Question

17．已知正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上底面A₁B₁C₁D₁边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD₁与B₁C所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 连结A₁C₁，B₁D₁，交于点O₁，连结AC、BD，交于点O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD₁与B₁C所成角的余弦值．

解答 解：∵正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上底面A₁B₁C₁D₁边长为1，下底面ABCD边长为2，
连结A₁C₁，B₁D₁，交于点O₁，连结AC、BD，交于点O，
∴OB=$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$，${O}_{1}{B}_{1}=\frac{1}{2}{B}_{1}{D}_{1}$=$\frac{1}{2}\sqrt{1+1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵侧棱与底面所成的角为60°，∴BB₁=2（OB-O₁B₁）=2（$\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\sqrt{2}$，
∴OO₁=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（$\sqrt{2}，0，0$），D₁（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），B₁（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{6}}{2}$），C（-$\sqrt{2}$，0，0），
$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
设异面直线AD₁与B₁C所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}C}|}{|\overrightarrow{A{D}_{1}}|•|\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$=$\frac{|2+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}|}{\sqrt{2+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}•\sqrt{2+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}}$=$\frac{1}{4}$．
∴异面直线AD₁与B₁C所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．