Question

8．如图所示，在平面直角坐际系中有一抛物线y₁=ax²，且抛物线经过点（2a-1，1），y轴上有一定点F，其坐标为（0，$\frac{1}{4}$），直线1的解析式为y₂=-$\frac{1}{4}$，在抛物线上有一动点P，连接PF，并过点P作PN⊥直线1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：PF=PN；
（3）直角坐标系中有一点E（2，5），试问当动点P位于何处B，PE+PF有最小值，并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）把（2a-1，1）代入抛物线解析式求出a；
（2）使用两点间的距离公式和点到直线的距离公式证明；
（3）判断E点与抛物线的位置关系，使用（2）中的结论将PE+PF的距离之和转化为线段长．

解答 解：（1）∵抛物线经过点（2a-1，1），∴a（2a-1）²=1，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²．
（2）设P（x，x²），则PF=$\sqrt{{x}^{2}+（{x}^{2}-\frac{1}{4}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}^{2}+\frac{1}{4}）^{2}}$=x²+$\frac{1}{4}$．PN=x²+$\frac{1}{4}$．
∴PF=PN．
（3）∵2²=4＜5，∴E（2，5）在抛物线y=x²上方．
过E作PN⊥l₂，交抛物线于P点，交l₂于N点，此时P（2，4），PE+PF=PE+PN=EN=$\frac{21}{4}$，
∴当P位于（2，4）时，PE+PF有最小值，最小值为$\frac{21}{4}$．

点评 本题考查了抛物线的解析式求法，抛物线的性质，属于基础题．