Question

18．已知函数f（x）=3sin（$\frac{k}{5}x$+$\frac{π}{3}$）（k＞0，k∈Z）有一条对称轴x=$\frac{π}{6}$，且在任意两整数间至少出现一次最大值和最小值，求k的最小取值．

Answer 1

分析 先由对称轴x=$\frac{π}{6}$，可得$\frac{k}{5}×\frac{π}{6}+\frac{π}{3}$=mπ+$\frac{π}{2}$，解得：k=30m+5，m∈Z，根据在任意两个整数之间（包括正整数本身）变化时，函数f（x）至少有一个最大值和最小值，可确定函数f（x）的最小正周期的范围，再由正弦函数的最小正周期的求法可得到k的取值范围，进而可得到答案．

解答 解：∵函数f（x）=3sin（$\frac{k}{5}x$+$\frac{π}{3}$）（k＞0，k∈Z）有一条对称轴x=$\frac{π}{6}$，
∴$\frac{k}{5}×\frac{π}{6}+\frac{π}{3}$=mπ+$\frac{π}{2}$，m∈Z，
∴解得：k=30m+5，m∈Z①，
为使得函数f（x）=3sin（$\frac{k}{5}x$+$\frac{π}{3}$），其中k＞0，k∈Z在任意两个整数之间变化时，函数f（x）至少有一个最大值和最小值．
则函数f（x）的最小正周期一定不大于2，
∴T=$\frac{2π}{\frac{k}{5}}$=$\frac{10π}{k}$≤2，
∴k≥5π≈5×3.14=15.7②，
∴由①②即可解得k的最小自然数为35．

点评 本题主要考查正弦函数的基本性质--周期性．三角函数是高考的一个重要考点，并且对三角函数的考查一般以基础题为主，一定要强化基础知识的夯实，属于中档题．