Question

9．已知函数f（x）=asinx-$\sqrt{3}$cosx的一条对称轴为x=-$\frac{π}{6}$，且f（x₁）•f（x₂）=-4，则下列结论正确的是（　　）

• A． a=±1
• B． f（x₁+x₂）=0
• C． |x₁+x₂|的最小值为$\frac{2π}{3}$
• D． f（x）的最小正周期为2|x₁-x₂|

Answer 1

分析 首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．

解答 解：f（x）=asinx-$\sqrt{3}$cosx
=$\sqrt{{a}^{2}+3}$sin（x+θ），
由于函数的对称轴为：x=-$\frac{π}{6}$，
所以f（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$a-$\frac{3}{2}$，
则：|-$\frac{1}{2}$a-$\frac{3}{2}$|=$\sqrt{{a}^{2}+3}$，
解得：a=1，
所以：f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$），
由于：f（x₁）•f（x₂）=-4，
所以函数必须取得最大值和最小值，
所以：x₁=2kπ+$\frac{5π}{6}$或x₂=2kπ-$\frac{π}{6}$，
所以：|x₁+x₂|=4kπ+$\frac{2π}{3}$，当k=0时，最小值为$\frac{2π}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，利用对称轴求函数的解析式，利用三角函数的最值确定结果，考查了数形结合能力和转化思想，属于中档题．