Question

5．若y=2asin（2x-$\frac{π}{3}$）+b，x∈[0，$\frac{π}{2}$]的最大值是1，最小值是-5，求a，b的值．

Answer 1

分析 先求出当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，sin（2x-$\frac{π}{3}$）的取值范围讨论a，建立方程关系进行求解即可．

解答 解：∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x∈[0，π]，
2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
则sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[sin（-$\frac{π}{3}$），sin$\frac{π}{2}$]，
即sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∵当x∈[0，$\frac{π}{2}$]的最大值是1，最小值是-5，
∴若a≥0，则$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=1}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}×2a+b=-5}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=1}\\{-\sqrt{3}a+b=-5}\end{array}\right.$，得a=6（2-$\sqrt{3}$）=12-6$\sqrt{3}$，b=-23+12$\sqrt{3}$，
若a＜0，则$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=-5}\\{-\sqrt{3}a+b=1}\end{array}\right.$，得a=-6（2-$\sqrt{3}$）=6$\sqrt{3}$-12，b=25-12$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角函数最值的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．