Question

7．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P、Q分别在A₁B₁、C₁D₁上，且A₁P=2PB₁，C₁Q=2QD₁，则异面直线BP与DQ所成角的余弦值为$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BP与DQ所成角的余弦值．

解答 解：设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为3，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），Q（0，1，3），B（3，3，0），P（3，2，3），
$\overrightarrow{BP}$=（0，-1，3），$\overrightarrow{DQ}$=（0，1，3），
设异面直线BP与DQ所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{DQ}|}{|\overrightarrow{BP}|•|\overrightarrow{DQ}|}$=$\frac{8}{\sqrt{10}•\sqrt{10}}$=$\frac{4}{5}$．
异面直线BP与DQ所成角的余弦值为$\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．