Question

18．已知数列{a_n}的前n项和${S_n}={n^2}$，等比数列{b_n}，b₁=a₁，b₄是a₄与a₅的等差中项．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）求出数列{a_n}的首项a₁，利用n≥2，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={n^2}-{（n-1）^2}=2n-1$，求出通项公式，然后求解${b_n}={2^{n-1}}$．
（2）化简c_n=a_n•b_n，利用错位相减法求解数列的{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）数列{a_n}的前n项和${S_n}={n^2}$，所以a₁=S₁=1…（1分）
n≥2，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={n^2}-{（n-1）^2}=2n-1$…（2分）
当n=1，也满足a_n=2n-1…（3分）
所以${a_n}=2n-1，n∈{N^*}$…（4分）
b₁=a₁=1，2b₄=a₄+a₅=7+9，所以b₄=8，…（6分）
${b_4}={b_1}•{q^3}=8$，所以q=2，所以${b_n}={2^{n-1}}$…（7分）
（2）${c_n}={a_n}•{b_n}=（2n-1）•{2^{n-1}}$，
${T_n}=1•{2^0}+3•{2^1}+5•{2^2}+…+（2n-1）•{2^{n-1}}$①…（8分）
$2{T_n}=1•{2^1}+3•{2^2}+5•{2^3}+…+（2n-1）•{2^n}$②…（9分）
①式减去②式得：$-{T_n}=1•{2^0}+2•{2^1}+2•{2^2}+2•{2^3}+…+2•{2^{n-1}}-（2n-1）•{2^n}$…（10分）
$-{T_n}=1+\frac{{{2^2}（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}-（2n-1）•{2^n}$=-3-（2n-3）•2ⁿ…（11分）
∴${T_n}=3+（2n-3）•{2^n}$…（12分）

点评 本题考查数列通项公式，以及数列求和的基本方法，考查计算能力．