Question

9．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，各棱长均为2，D为线段B₁C₁中点．
（Ⅰ） 证明：AC₁∥平面A₁BD；
（Ⅱ） 求BB₁与平面A₁BD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AB₁，交A₁B于点F，连接DF，则DF∥AC₁，由此能证明AC₁∥平面A₁BD．
（Ⅱ）解法1：作B₁H⊥BD，垂足为H，推导出A₁D⊥平面BB₁C₁C，从而B₁H⊥A₁D，进而∠B₁BH为BB₁与平面A₁BD所成的角，由此能求出BB₁与平面A₁BD所成角的正弦值．
解法2：取AB中点O，连接CO，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出BB₁与平面A₁BD所成角的正弦值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连接AB₁，交A₁B于点F，
连接DF，△AB₁C₁中，D，F分别为A₁B，B₁C₁中点，
所以DF∥AC₁．…（2分）
因为DF?平面A₁BD，AC₁?平面A₁BD
所以AC₁∥平面A₁BD． …（4分）
解：（Ⅱ）方法1：如图，作B₁H⊥BD，垂足为H，
因为BB₁⊥平面A₁B₁C₁，A₁D?平面A₁B₁C₁，所以A₁D⊥BB₁，
又A₁D⊥B₁C₁，且BB₁∩B₁C₁=B₁，BB₁，B₁C₁?平面BB₁C₁C，
所以A₁D⊥平面BB₁C₁C．…（6分）
因为B₁H?平面BB₁C₁C，所以B₁H⊥A₁D，
又B₁H⊥BD，且A₁D∩BD=D，A₁D，BD?平面A₁BD，
所以B₁H⊥平面A₁BD，所以∠B₁BH为BB₁与平面A₁BD所成的角．…（8分）
在Rt△B₁BD中，$sin∠{B_1}BH=\frac{{{B_1}D}}{BD}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．…（11分）
因此BB₁与平面A₁BD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．…（12分）
方法2：取AB中点O，连接CO．
因为AA₁⊥平面ABC，CO?平面ABC，所以CO⊥AA₁．
又因为CO⊥AB，且AA₁∩AB=A，AA₁，AB?面A₁ABB₁，所以，CO⊥平面A₁ABB₁．…（6分）
如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，
则A₁（1，2，0），B（-1，0，0），B₁（-1，2，0），$D（{-\frac{1}{2}，2，\sqrt{3}}）$，
所以，$\overrightarrow{B{A_1}}=（{2，2，0}）$，$\overrightarrow{BD}=（{\frac{1}{2}，2，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，
$\overrightarrow{B{B_1}}=（{0，2，0}）$．…（8分）
设平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}2x+2y=0\\ \frac{1}{2}x+2y+\frac{{\sqrt{3}}}{2}z=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}y=-x\\ z=\sqrt{3}x\end{array}\right.$，
令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\sqrt{3}$），…（10分）
设直线BB₁与平面A₁BD所成角大小为θ，
则sinθ=|$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{B{B}_{1}}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{B{B}_{1}}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
所以，BB₁与平面A₁BD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．