Question

17．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁=2，M，N分别为AC，B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）线段CC₁上是否存在点Q，使A₁B⊥平面MNQ？说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中点D，连接DM，DB₁，然后由三角形的中位线定理得到MN∥DB₁，再由线面平行的判定定理得答案；
（Ⅱ）连接BC₁，可证QN⊥BC₁，A₁C₁⊥QN，从而可证：A₁B⊥QN，同理可得 A₁B⊥MQ，即可得证A₁B⊥平面MNQ．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）证明：取AB中点D，连接DM，DB₁．
在△ABC中，因为 M为AC中点，所以DM∥BC，$DM=\frac{1}{2}BC$．
在矩形B₁BCC₁中，因为 N为B₁C₁中点，所以B₁N∥BC，${B_1}N=\frac{1}{2}BC$．
所以 DM∥B₁N，DM=BN．
所以  四边形MDB₁N为平行四边形，所以 MN∥DB₁．…（4分）
因为 MN?平面ABB₁A₁，DB₁?平面ABB₁A₁，
所以 MN∥平面ABB₁A₁．                         …（6分）
（Ⅱ）解：线段CC₁上存在点Q，且Q为CC₁中点时，
有A₁B⊥平面MNQ． …（8分）
证明如下：连接BC₁．
在正方形BB₁C₁C中易证 QN⊥BC₁．
又A₁C₁⊥平面BB₁C₁C，所以 A₁C₁⊥QN，从而NQ⊥平面A₁BC₁．
所以 A₁B⊥QN．  …（10分）
同理可得 A₁B⊥MQ，所以A₁B⊥平面MNQ．
故线段CC₁上存在点Q，使得A₁B⊥平面MNQ． …（12分）

点评 本小题主要考查空间线面关系，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．