Question

7．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1（n≥2，n∈N⁺），则a₂₀₁₆=1008．

Answer 1

分析 利用递推关系可得a_n+1-a_n=$\frac{1}{n}{a}_{n}$，化为：$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{{a}_{n}}{n}$=…=$\frac{{a}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1（n≥2，n∈N⁺），
∴a₂=a₁=1，a_n+1=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1+$\frac{1}{n}{a}_{n}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{n}{a}_{n}$，
化为：$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{{a}_{n}}{n}$=…=$\frac{{a}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{n}{2}$．（n≥2）
则a₂₀₁₆=$\frac{2016}{2}$=1008．
故答案为：1008．

点评 本题考查了递推关系的应用、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．