Question

12．解关于x的不等式：x${\;}^{lo{g}_{a}x}$＞$\frac{{x}^{4}\sqrt{x}}{{a}^{2}}$．

Answer 1

分析 先得到x＞1，a＞1或0＜x＜1，0＜a＜1，从而${log}_{a}^{x}$＞0，将不等式转化为（2${log}_{a}^{x}$-1）（${log}_{a}^{x}$-4）＞0，求出${log}_{a}^{x}$的值，再分别讨论x＞1，a＞1或0＜x＜1，0＜a＜1的情况，从而求出x的范围．

解答 解：显然x＞0且x≠1，a＞0且a≠1，
x＞1，0＜a＜1时，${log}_{a}^{x}$＜0，x${\;}^{lo{g}_{a}x}$＜1，而$\frac{{x}^{4}\sqrt{x}}{{a}^{2}}$＞1，不等式无解，
同理0＜x＜1，a＞1时，不等式无解，
故x＞1，a＞1或0＜x＜1，0＜a＜1，
a＞1时：
由x${\;}^{lo{g}_{a}x}$＞$\frac{{x}^{4}\sqrt{x}}{{a}^{2}}$得：${log}_{a}^{x}$＞${log}_{x}^{\frac{{x}^{4}\sqrt{x}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{log}_{a}^{{x}^{\frac{9}{2}}}{-log}_{a}^{{a}^{2}}}{{log}_{a}^{x}}$=$\frac{{\frac{9}{2}log}_{a}^{x}-2}{{log}_{a}^{x}}$，
∴${{（log}_{a}^{x}）}^{2}$＞$\frac{9}{2}$${log}_{a}^{x}$-2，
即2${{（log}_{a}^{x}）}^{2}$-9${log}_{a}^{x}$+4＞0，
∴（2${log}_{a}^{x}$-1）（${log}_{a}^{x}$-4）＞0，
解得：${log}_{a}^{x}$＜$\frac{1}{2}$或${log}_{a}^{x}$＞4，
∴1＜x＜$\sqrt{a}$或x＞a⁴，
同理，0＜a＜1时：
$\sqrt{a}$＜x＜1或0＜x＜a⁴．

点评 本题考察了指数、对数的互化，以及解对数不等式问题，是一道中档题．