Question

3．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AC=BC，M，N分别是棱CC₁，AB的中点．
（1）求证：CN⊥平面ABB₁A₁；
（2）求证：CN∥平面AMB₁．

Answer 1

分析 （1）证明AA₁⊥CN，CN⊥AB，即可证明CN⊥平面ABB₁A₁；
（2）设AB₁的中点为P，连接NP、MP，利用三角形中位线的性质，可得线线平行，利用线面平行的判定，可得CN∥平面AMB₁．

解答 证明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，CN?平面ABC，
∴AA₁⊥CN，
∵AC=BC，N是棱AB的中点，
∴CN⊥AB，
∵AA₁∩AB=A，
∴CN⊥平面ABB₁A₁；
（2）设AB₁的中点为P，连接NP、MP
∵M、N分别是棱CC₁、AB的中点
∴CM∥$\frac{1}{2}$AA₁，且CM=$\frac{1}{2}$AA₁，NP∥$\frac{1}{2}$AA₁，且NP=$\frac{1}{2}$AA₁，
∴CM∥NP，CM=NP
∴CNPM是平行四边形，∴CN∥MP
∵CN?平面AMB₁，MP?平面AMB₁，
∴CN∥平面AMB₁．

点评 本题考查线面平行与垂直，解题的关键是正确运用线面平行与垂直的判定方法，属于中档题．