Question

8．已知f（x）=2sinx（cosx+$\sqrt{3}$sinx）．
（1）求f（x）的单调递增区间和最小正周期；
（2）在△ABC中，C=$\frac{π}{3}$且c=$\sqrt{3}$，若x=B时，f（x）取得最大值，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数中的恒等变换应用化简可得函数解析式f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$，利用周期公式可求最小正周期，由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，（k∈Z），解得f（x）的单调递增区间．
（2）由题意可得：f（B）=2+$\sqrt{3}$，解得：B，A，由正弦定理可得a，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=2sinx（cosx+$\sqrt{3}$sinx）
=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$sin²x
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，（k∈Z），解得f（x）的单调递增区间为：[k$π-\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，（k∈Z）．
（2）∵由题意可得：f（B）=2sin（2B-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$=2+$\sqrt{3}$，即：sin（2B-$\frac{π}{3}$）=1，
∴2B-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，解得：B=$\frac{5π}{12}$，
∵C=$\frac{π}{3}$且c=$\sqrt{3}$，
∴A=π-B-C=$\frac{π}{4}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{b}{sin\frac{5π}{12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，解得：a=$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}×$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，三角形面积公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．