Question

2．为了调整个人所得税征收制度，某机构准备调查了解某市市民的收人情况，随机抽取了n名市民进行试点凋查，其月收人介于1200元和4200元之间，将调查结果按如下方式分为五组：第一组[1200，1800）：第二组[1800，2400）…：第五组[3600，4200]．下表是按上述分组方式得到的频率分布表：

分组	频数	频率
[1200，1800）	x	A
[1800，2400）	90	B
[2400，3000）	y	0.40
[3000，3600）	160	0.32
[3600，4200]	z	0.04

（I）求n及上表中的x，y，z，a，b的值；
（Ⅱ）为了了解市民对个人所得税征收制度的意见，现利用分层抽样的方法从这n名市民中抽取一个容量为50的样本进行问卷凋查，若从第一组或第五组中抽取的市民中任选两名，求事件“两人收入之差大于1000元”的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表中条件利用频率=$\frac{频数}{总数}$，能求出x，y，z，a，b的值．
（Ⅱ）由题意先求出分层抽样比，从而得到在样本中第一组抽出3人，第五组抽出2人，从这五人中任取两人，基本事件总数n=${C}_{5}^{2}$=10，事件“两人收入之差大于1000元”是指在第一组和第五组中各取一人，求出其包含怕基本事件个数，由此能求出事件“两人收入之差大于1000元”的概率．

解答 解：（Ⅰ）由表知：$n=\frac{160}{0.32}$=500，b=$\frac{90}{500}=0.18$，
y=500×0.40=200，z=500×0.04=20，
x=500-90-200-160-20=30，a=$\frac{30}{500}=0.06$．
（Ⅱ）由题意知分层抽样比为$\frac{50}{500}=\frac{1}{10}$，
∴在样本中第一组抽出的人数为30×$\frac{1}{10}$=3，
第五组抽出的人数为20×$\frac{1}{10}$=2，
从这五人中任取两人，基本事件总数n=${C}_{5}^{2}$=10，
事件“两人收入之差大于1000元”是指在第一组和第五组中各取一人，
包含怕基本事件个数m=${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}=6$，
∴事件“两人收入之差大于1000元”的概率：p=$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．

点评 本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样、等可能事件概率计算公式的合理运用．