Question

12．若对任意的x≥2，都有（x+a）|x+a|+（ax）|x|≤0，则a的最大值为-1．

Answer 1

分析 由题意可得，x≥2时，（x+a）|x+a|+（ax）•x≤0恒成立，分类讨论，求得a的范围，可得a的最大值．

解答 解：对任意的x≥2，都有（x+a）|x+a|+（ax）|x|≤0，即 x≥2时，（x+a）|x+a|+（ax）•x≤0恒成立．
①若x+a≥0，即a≥-2时，则有（x+a）²+ax²≤0，
∴（a+1）x²+2ax+a²≤0．
令f（x）=（a+1）x²+2ax+a²，则有a+1=0，或-$\left\{\begin{array}{l}{a+1＜0}\\{-\frac{2a}{2（a+1）}＜2}\\{f（2）=4（a+1）+4a+{a}^{2}≤0}\end{array}\right.$，
求得a=-1，或-4-2$\sqrt{3}$≤a≤-4+2$\sqrt{3}$，综合可得-4-2$\sqrt{3}$≤a≤-2 或a=-1．
②若x+a＜0，即a＜-2时，则有-（x+a）²+ax²≤0，
∴（a-1）x²-2ax-a²≤0．
令g（x）=（a-1）x²-2ax-a²，则它的图象的对称轴为x=$\frac{a}{a-1}$＜0，g（2）=-4-a²≤0恒成立．
即此时，a的范围为 a＜-2．
③若x+a=0，即a=-x≤-2 时，则由题意可得ax²≤0，满足条件．
综合①②③可得，a≤-2或-4-2$\sqrt{3}$≤a≤-2 或a=-1，故a的最大值为-1，
故答案为：-1．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数的应用，二次函数的性质，属于难题．