Question

4．已知函数f（x）=ln（ax²+2x+1）．
（I）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的定义，真数大于0，即可求出a的范围．（2）f（x）的值域为R，也可以说y=ax²+2x+1取遍一切正数，问题得以解决．

解答 解：（1）由f（x）的定义域为R，则ax²+2x+1＞0恒成立，…（1分）
若a=0时，2x+1＞0，x＞-$\frac{1}{2}$，不合题意； …（3分）
所以a≠0；
由 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a＜0}\end{array}\right.$得：a＞1．…（6分）
（2）由f（x）的值域为R，所以{y|y=ax²+2x+1，x∈R}?（0，+∞），…（7分）
（也可以说y=ax²+2x+1取遍一切正数）
①若a=0时，y=2x+1可以取遍一切正数，符合题意，…（9分）
②若a≠0时，需 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a≥0}\end{array}\right.$，即0＜a≤1； …（12分）
综上，实数a的取值范围为[0，1]．…（13分）．

点评 本题主要考查了对数函数的定义和二次函数的性质，属于基础题．