Question

5．已知复数A=z₁$\overline{{z}_{2}}$+z₂$\overline{{z}_{1}}$，B=z₁$\overline{{z}_{1}}$+z₂$\overline{{z}_{2}}$，其中z₁，z₂是非零复数，问：A，B可以比较大小？并证明之．

Answer 1

分析 设z₁=a+bi，z₂=c+di（a，b，c，d∈R），根据共轭复数和复数的混合运算求出A，B，由于A、B都是实数，所以A、B可以比较大小，利用作差法即可比较大小．

解答 解：设z₁=a+bi，z₂=c+di（a，b，c，d∈R），
则A=z₁$\overline{{z}_{2}}$+z₂$\overline{{z}_{1}}$=（a+bi）（c-di）+（c+di）（a-bi）=2（acac+bd）∈R，
B=z₁$\overline{{z}_{1}}$+z₂$\overline{{z}_{2}}$=a²+b²+c²+d²∈R，
由于A、B都是实数，所以A、B可以比较大小．
又B-A=a²+b²+c²+d²-2（acac+bd）=（a-c）²+（b-d）²≥0，
于是得到A≤B，当且仅当a=c且b=d，即z₁=z₂时，取等号．

点评 本题考查了复数的混合运算和共轭复数的问题，以及比较大小，属于基础题．