Question

11．已知抛物线C：y²=4x
（1）抛物线C上有一动点P，当P到C的准线与到点Q（7，8）的距离之和最小时，求点P的坐标；
（2）是否存在直线l：y=kx+b与C交于A、B两个不同的点，使OA与OB（O为坐标原点）所在直线的倾斜角互补，如果存在，试确定k与b的关系，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的定义可知，只要在抛物线上找P到点Q与到焦点F（1，0）的距离之和最小，由直线段最短原理，可知只要求QF：y=$\frac{4}{3}$（x-1）与抛物线y²=4x的交点即可；
（2）由直线l：y=kx+b与抛物线y²=4x得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，利用韦达定理判断k_OA+k_OB≠0．

解答 解：（1）由抛物线的定义可知，只要在抛物线上找P到点Q与到焦点F（1，0）的距离之和最小，
由直线段最短原理，可知只要求QF：y=$\frac{4}{3}$（x-1）与抛物线y²=4x的交点即可．
由QF：y=$\frac{4}{3}$（x-1）与抛物线y²=4x可得4x²-17x+4=0，∴x₁=4或x₂=$\frac{1}{4}$（舍）．
∴P（4，4）．…（4分）   
（2）由直线l：y=kx+b与抛物线y²=4x得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{4-2kb}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$，
k_OA+k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=2k+$\frac{b（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4}{b}$≠0
故不存在符合条件的直线l．…（12分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确转化是关键．