Question

16．若向量$\overrightarrow{a}$=（2，3，λ），$\overrightarrow{b}$=（-1，1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）的夹角为60°，则λ等于（　　）

• A． $\frac{23}{12}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{12}$
• C． $\frac{23\sqrt{6}}{12}$
• D． -$\frac{23\sqrt{6}}{12}$

Answer 1

分析 根据平面向量的数量积类比计算空间向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的数量积，列出方程求出λ的值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（2，3，λ），$\overrightarrow{b}$=（-1，1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-2+3+$\frac{\sqrt{6}}{3}$λ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$λ+1，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}{+λ}^{2}}$=$\sqrt{{λ}^{2}+13}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（-1）}^{2}{+1}^{2}{+（\frac{\sqrt{6}}{3}）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{8}{3}}$，
∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos60°，
即$\frac{\sqrt{6}}{3}$λ+1=$\sqrt{{λ}^{2}+13}$×$\sqrt{\frac{8}{3}}$×$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{6}}{3}$λ+1=$\sqrt{\frac{2{（λ}^{2}+13）}{3}}$，解得λ=$\frac{23\sqrt{6}}{12}$．
故选：C．

点评 本题考查了空间向量数量积的应用问题，也考查了解方程的应用问题，是基础题目．