Question

（本小题满分14分）
在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求三棱锥E-ACD₁的体积；
（3）AE等于何值时，二面角D₁—EC—D的大小为.

Answer 1

（1）  略
（2）  
（3）  

解法（一）
（1）证明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E
（2）（2）
（3）过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，
∴∠DHD₁为二面角D₁—EC—D的平面角.
设AE=x，则BE=2－x


解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）
（3）设平面D₁EC的法向量，∴
由 令b="1," ∴c=2,a=2－x，
∴
依题意
∴（不合，舍去）， .
∴AE=时，二面角D₁—EC—D的大小为.