Question

（本小题满分12分）如图，已知四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2。
（I）求证：C₁D//平面ABB₁A₁；
（II）求直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D—A₁C₁—A的余弦值。

Answer 1

(1)略
(2)
(3)

（I）证明：四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，BB₁//CC₁，
又面ABB₁A₁，所以CC₁//平面ABB₁A₁，              …………2分
ABCD是正方形，所以CD//AB，
又CD面ABB₁A₁，AB面ABB₁A₁，所以CD//平面ABB₁A₁，…………3分
所以平面CDD₁C₁//平面ABB₁A₁，
所以C₁D//平面ABB₁A₁                                  …………4分
（II）解：ABCD是正方形，AD⊥CD
因为A₁D⊥平面ABCD，
所以A₁D⊥AD，A₁D⊥CD，
如图，以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz，           …………5分
在中，由已知可得
所以，

            …………6分
因为A₁D⊥平面ABCD，
所以A₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁
A₁D⊥B₁D₁。
又B₁D₁⊥A₁C₁，
所以B₁D₁⊥平面A₁C₁D，                                 …………7分
所以平面A₁­C₁D的一个法向量为n=（1，1，0）            …………8分
设与n所成的角为，
则                   
所以直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值为            …………9分
（III）解：平面A₁C₁A的法向量为 
则 所以  
令可得                           …………11分
则
所以二面角的余弦值为              …………12分