Question

19．下列命题正确的个数有（　　）
（1）命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件
（2）命题“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“对?x∈R，均有x²+x+1＞0”
（3）函数f（x）=2x²-4x+1（x∈R），若f（x₁）=f（x₂），且x₁＞x₂，则$\frac{x_1^2+x_2^2}{{{x_1}-{x_2}}}$的最小值为2
（4）在数列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n项和，且满足S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2，则{a_n}是等比数列．

• A． 3个
• B． 2个
• C． 1个
• D． 0个

Answer 1

分析 根据充要条件的定义及复合命题真假判断的真值表，可判断（1）；根据存在性命题的否定，可判断（2）；根据二次函数的图象和性质，求出$\frac{x_1^2+x_2^2}{{{x_1}-{x_2}}}$的最小值可判断（3）；根据等比数列的定义，可判断（4）．

解答 解：若命题“p∧q为真”，则p，q均为真，此时“p∨q为真”，
若“p∨q为真”，则p，q存在真命题，但命题“p∧q为真”不一定成立，
故命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件，故（1）错误；
命题“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“对?x∈R，均有x²+x+1≥0”，故（2）错误；
函数f（x）=2x²-4x+1（x∈R），若f（x₁）=f（x₂），且x₁＞x₂，则x₁与x₂关于直线x=1对称，则x₁+x₂=2，则$\frac{x_1^2+x_2^2}{{{x_1}-{x_2}}}$=$\frac{{x}_{1}^{2}+{（2-{x}_{1}）}_{\;}^{2}}{{x}_{1}-（2-{x}_{1}）}$=$\frac{{x}_{1}^{2}-2{x}_{1}+2}{{x}_{1}-1}$=${x}_{1}-1+\frac{1}{{x}_{1}-1}$≥2$\sqrt{（{x}_{1}-1）•\frac{1}{{x}_{1}-1}}$=2，
当且仅当x₁=2时，取等号，故（3）正确；
在数列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n项和，且满足S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2，则S_n=$\frac{1}{2}$S_n-1+2，两式相减得：a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，（n≥2），则数列从第三项开始，是公比为$\frac{1}{2}$，但前两项不符号，故（4）错误；
故正确的命题的个数为1个，
故选：C

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了复合命题，充要条件，特称命题，二次函数的性质，等比数列的定义等知识点，难度中档．