Question

【题目】设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x﹣6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足 =0．
（1）求m的值；
（2）求直线PQ的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线方程为（x+1）2+（y﹣3）2=9表示圆心为（﹣1，3），半径为3的圆．

∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，

∴圆心（﹣1，3）在直线上．代入得m=﹣1

（2）解：∵直线PQ与直线y=x+4垂直，

∴设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y=﹣x+b．

将直线y=﹣x+b代入圆方程，得2x2+2（4﹣b）x+b2﹣6b+1=0．

△=4（4﹣b）2﹣4×2×（b2﹣6b+1）＞0，得2﹣3 ＜b＜2+3 ．

由韦达定理得x1+x2=﹣（4﹣b），x1x2= ．

y1y2=b2﹣b（x1+x2）+x1x2= +4b．

∵ =0，∴x1x2+y1y2=0，

即b2﹣6b+1+4b=0．

解得b=1∈（2﹣3 ，2+3 ）．

∴所求的直线方程为y=﹣x+1

【解析】（1）曲线x2+y2+2x﹣6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，说明曲线是圆，直线过圆心，易求m的值；（2）设P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2），PQ方程为y=﹣x+b．联立方程组，结合韦达定理，以及 =0． 求得k的方程，然后求直线PQ的方程．
【考点精析】利用一般式方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）．