Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+1，设b_n=a_n+1-2a_n．
（Ⅰ）证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）数列{c_n}满足c_n=

1

log2bn+3

（n∈N⁺），设T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1，若对一切n∈N⁺不等式4mT_n＞（n+2）c_n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据a_n+1=S_n+1-S_n，可得a_n+1=4a_n-4a_n-1．整理后可求得b_n=2b_n-1．进而可推断数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知数列{b_n}的通项公式，进而可得c_n，根据裂项法求得c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1，即T_n=

n

4(n+4)

，根据4mT_n＞（n+2），可得m的范围，设f（x）=1+

3

x+3

+

8

x2+3x

，可知f（x）在[1，+∞）为减函数，则飞f（1）为最大值，进而确定m的范围．得出结论．

解答：证明：（Ⅰ）由于S_n+1=4a_n+1，①
当n≥2时，S_n=4a_n-1+1．②
①-②得a_n+1=4a_n-4a_n-1．
所a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）．
又b_n=a_n+1-2a_n，
所以b_n=2b_n-1．
因为a₁=1，且a₁+a₂=4a₁+1，
所以a₂=3a₁+1=4．
所以b₁=a₂-2a₁=2．
故数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=2ⁿ，则c_n=

1

log2bn+3

=

1

n+3

∴T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1
=

1

4×5

+

1

5×6

+

1

6×7

+…+

1

(n+3)(n+4)

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

．
由4mT_n＞（n+2），得

mn

n+4

＞

n+2

n+3

．
即m＞

(n+4)(n+2)

n(n+3)

．
所以m＞

n2+6n+8

n2+3n

．
所以m＞1+

3n+8

n2+3n

=1+

3

n+3

+

8

n2+3n

．
设f（x）=1+

3

x+3

+

8

x2+3x

，x≥1．
可知f（x）在[1，+∞）为减函数，又f（1）=

15

4

，
则当n∈N时，有f（n）≤f（1）．
所以∴m＞

15

4

．
故当m＞

15

4

．时，4mT_n＞（n+2）c_n恒成立．

点评：本题主要考查等比数列的性质和用裂项法求和的问题．等比数列常与对数函数、不等式等知识综合出题，是历年来高考必考题目．