Question

求下列极限：
（1）

lim

n→∞

2 n 2   +n+7

5n2+7

；
（2）

lim

n→∞

（

n2+n

-n）；
（3）

lim

n→∞

（

2

n2

+

4

n 2

+…+

2n

n2

）．

Answer 1

分析：（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n²后再求极限；
（2）因

n2+n

与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；
（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限．

解答：解：（1）

lim

n→∞

2n2+n+7

5n2+7

=

lim

n→∞

2+ 1 n + 7 n2

5+ 7 n 2

=

2

5

．
（2）

lim

n→∞

（

n2+n

-n）=

lim

n→∞

n

n2+n +n

=

lim

n→∞

1

1+ 1 n +1

=

1

2

．
（3）原式=

lim

n→∞

2+4+6++2n

n2

=

lim

n→∞

n(n+1)

n2

=

lim

n→∞

（1+

1

n

）=1．

点评：首先对于（1）要避免下面两种错误：①原式=

lim n→∞ (2n2+n+7)

lim n→∞ (5n2+7)

=

∞

∞

=1，②∵

lim

n→∞

（2n²+n+7），

lim

n→∞

（5n²+7）不存在，∴原式无极限．
对于（2）要避免出现下面两种错误：
①

lim

n→∞

（

n2+n

-n）=

lim

n→∞

n2+n

-

lim

n→∞

n=∞-∞=0；②原式=

lim

n→∞

n2+n

-

lim

n→∞

n=∞-∞不存在．
对于（3）要避免出现原式=

lim

n→∞

2

n2

+

lim

n→∞

4

n2

+…+

lim

n→∞

2n

n2

=0+0+…+0=0这样的错误．
此类题目有一定的计算量要多做分析．