Question

若直线y=m（m＞0）是函数f（x）=

3

cos²ωx-sinωxcosωx-

3

2

（ω＞0）的图象的一条切线，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．
（1）求ω和m的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边．若（

A

2

，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，且a=4，b+c=5，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：数形结合法,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简得f（x）=cos（2ωx+

π

6

），从而由f（x）的图象与直线y=m（m＞0）相切，得m=1．因为切点横坐标依次成公差为π的等差数列，所以由周期T=

2π

2ω

=π，得ω=1．
（2）（

A

2

，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，先求出A，a的值，根据余弦定理确定bc=3，从而由面积公式可求△ABC的面积．

解答： 解：（1）f（x）=

3

×

1+cos2ωx

2

-

1

2

sin2ωx-

3

2

=cos（2ωx+

π

6

），
由f（x）的图象与直线y=m（m＞0）相切，得m=1．
切点横坐标依次成公差为π的等差数列，所以周期T=

2π

2ω

=π，所以ω=1．
（2）由（1）知f(x)=cos(2x+

π

6

)，
令2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，得x=

π

6

+kπ，k∈Z，
点（

A

2

，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，又A是△ABC内角，
∴

A

2

=

π

6

，A=

π

3

，a=4，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，即（b+c）²-3bc=16，
由b+c=5得bc=3
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

•3•

3

2

=

3 3

4

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用和余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．