Question

13．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂+a₄=6，a₆=S₃．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若k∈N^*，且a_k，a_3k，S_2k成等比数列，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，根据等差数列的通项公式和求和公式，列出关于a₁和d的方程组，解出a₁和d，即可得到所求通项；
（Ⅱ）由等比数列的中项的性质及等差数列的通项公式和求和公式，可得9k²=k•k（2k+1），解出k．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意可得：
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d+{a}_{1}+3d=6}\\{{a}_{1}+5d=3{a}_{1}+3d}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$．
∴{a_n}的通项公式为a_n=1+n-1=n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${S}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$，
∵a_k，a_3k，S_2k成等比数列．
∴${{a}_{3k}}^{2}={a}_{k}•{S}_{2k}$，
∴9k²=k•k（2k+1），
解得k=4．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，以及求和公式，以及等比数列的中项的性质，考查了运算能力，属于中档题．